Valódi hossz és különbségi háromszög
Előismeret: DG-06
Tanulási cél
Szerkeszd meg egy általános szakasz hosszát akkor is, ha egyik eredeti képen sem látszik valódi nagyságban.
Miért működik?
AB, annak vízszintes vetülete és a végpontok magasságkülönbsége derékszögű háromszöget alkot. A vízszintes képi hossz d₁ és Δz alapján:
$$|AB|=\sqrt{d_1^2+(\Delta z)^2},\qquad d_1=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}.$$
A képsíkszögre tan α=|Δz|/d₁, ha d₁>0. Vetítőszakasznál d₁=0, a hossz |Δz| és α=90°. Nullaszakasznak nincs meghatározott iránya vagy hajlásszöge.
Egyszerűbben
A cél egy általános helyzetű szakasz valódi hossza akkor is, ha egyik képen sem látszik valódi nagyságban. A gondolat: a térbeli szakaszt egy derékszögű háromszög átfogójaként fogod fel.
A háromszög egyik befogója az AB vízszintes vetülete, ennek hossza d₁, amelyet a vízszintes változásokból kapsz: d₁=√((Δx)²+(Δy)²). A másik befogó a magasságkülönbség, Δz. A kettő derékszöget zár be, mert az egyik vízszintes, a másik függőleges. Pitagorasz-tétellel így |AB|=√(d₁²+(Δz)²).
Szemléletes kép: egy egyenletes, sík rámpánál a lábától mért vízszintes táv és a szintkülönbség a két befogó, a rámpa mentén mért hossz az átfogó. A hasonlat csak egyenes, egyenletes lejtésű szakaszra igaz.
A képsíkszögre (a szakasz és a vízszintes K₁ hajlásszögére) tan α=|Δz|/d₁, ha d₁>0. Ha d₁=0, a szakasz vetítőszakasz: hossza |Δz|, α=90°. Nullaszakasznak nincs meghatározott iránya vagy hajlásszöge.
Gyakori hibák
- Δz-t előjeles koordinátákból számold, ne a tengelytávolságok összegéből.
- d₁=0 esetén a tangenses képlet nem használható: ilyenkor a hossz |Δz|, a szög 90°.
Papíros szerkesztés
A′B′ mellé készíts derékszögű háromszöget: egyik befogó az A′B′ hossz, a másik a második képről mért előjeles magasságkülönbség abszolút értéke. Az átfogó a valódi hossz. Nem két tengelytávolság összegét méred, hanem a koordináták különbségét.
Egyszerűbben
Ez a szakasz az előző képletet rajzra fordítja. Az A′B′ első kép hossza éppen a vízszintes befogó, ezért nem kell külön kiszámolnod: a rajzon már ott van.
A másik befogót a második képről olvasod le: A″ és B″ előjeles magasságának különbségét, abszolút értékben. Ezt A′B′ mellé, vele derékszöget bezárva veszed fel. Az így kapott derékszögű háromszög átfogója a szakasz valódi hossza.
Figyelj, hogy ne a két tengelytávolság összegét mérd. A biztos út mindig a koordináták különbsége, akár azonos, akár ellentétes oldalon vannak a végpontok. A lecke példája szerint ha az egyik z érték 12, a másik −8, akkor a különbség 12−(−8)=20 mm.
- Vedd az A′B′ szakaszt: ez az egyik befogó.
- A második képről olvasd le A és B előjeles z-jét, és képezd a különbség abszolút értékét.
- Ezt a hosszt A′B′ egyik végpontjában, rá merőlegesen mérd fel.
- Kösd össze a kapott pontot A′B′ másik végpontjával: ez az átfogó, a valódi hossz.
Gyakori hibák
- Ne a tengelytávolságokat add össze gondolkodás nélkül; a koordináták különbsége számít.
- A második befogót valóban derékszögben állítsd fel, mert az átfogó csak derékszögű háromszögben adja a valódi hosszt.
3D-ábra · DG-F18
Húzás: forgatás · Ctrl + görgő vagy két ujj: nagyítás · jobb gombbal húzás: eltolás
A=(0;0;10), B=(30;40;22) mm: egyik eredeti képen sem valódi hosszú.
Nézet
Képsíkok kiterítése
Megjelenítés
- Adott
- Szerkesztés / rendező
- Eredmény
- Segédsík / vetítés
- Azonosított pont
- takart rész
Nevezetes pontok
- A, BAdott
- CSzerkesztés / rendező
Jelölés: például P′ a P pont első (felülnézeti), P″ a második (elölnézeti), P‴ a harmadik (oldalnézeti) képe. Harmadik kép csak háromképsíkos ábrán van.
A térbeli vázlat a szerkesztés megértését segíti. A segédvonalak és drótvázelemek nem minden esetben a kész műszaki rajz láthatósági vonalai; azt a lecke statikus ábrájával együtt értelmezd.
A lecke statikus ábrája
Saját példa
A=(0,0,10), B=(30,40,22) mm. A vízszintes vetület 50 mm, Δz=12 mm; az átfogó √2644≈51,42 mm. A lejtés 12/50=0,24, a hajlásszög ≈13,50°.
Próba: ha a végpontok a képsík két oldalán vannak, hogyan számolod Δz-t? Előjeles koordinátákkal; például 12−(−8)=20 mm.
Egyszerűbben
A példa végigviszi a képletet. A vízszintes változás Δx=30 és Δy=40 mm, ezért a vízszintes vetület d₁=√(30²+40²)=50 mm. A magasságkülönbség Δz=22−10=12 mm.
Az átfogó √(50²+12²)=√2644≈51,42 mm: ez a szakasz valódi hossza. Csak kicsit hosszabb a vízszintes vetületnél, mert a szakasz enyhén emelkedik.
A lejtés a magasságkülönbség és a vízszintes táv aránya: 12/50=0,24. A hajlásszögre tan α=0,24, ebből α≈13,50°.
A próba azt az esetet mutatja, amikor a végpontok a képsík két oldalán vannak, vagyis az egyik z negatív. Ilyenkor is az előjeles koordináták különbségét veszed: például 12−(−8)=20 mm.
Mini példa
Papíron ugyanez a különbségi háromszög: az 50 mm-es A′B′ mellé 12 mm-es merőleges befogót veszel fel, és az átfogó adja az ≈51,42 mm-es valódi hosszt.
Gyakori hibák
- Negatív z-nél ne a tengelytávolságokat vond ki egymásból: 12−(−8)=20 mm a helyes, a 12−8=4 mm hibás.
- A hajlásszög tangensét a vízszintes befogóval képezd (12/50), ne a valódi hosszal.