Deriválás: helyi változási arány
Előismeret: MATH-11
Mit fogsz tudni?
A deriváltat nem pusztán szabálygyűjteményként használod: összekötöd a meredekséggel, a változási sebességgel és a helyi közelítéssel.
A különbséghányadostól a deriváltig
Két pont között az átlagos változás $(f(a+h)-f(a))/h$. Ha $h\to0$ mellett ez véges határértékhez tart, akkor:
$$ f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}h. $$
A deriválhatóság folytonosságot von maga után, de a megfordítás hamis. Például $|x|$ folytonos a 0-ban, de a bal és jobb oldali meredeksége −1 és 1.
Egyszerűbben
Két pont között az átlagos változás: mennyit változik f, osztva azzal, mennyit változott x. Ez az (f(a + h) − f(a))/h különbséghányados, szemléletesen a két grafikonpontot összekötő egyenes meredeksége.
Ha h-t egyre kisebbre veszed, a második pont egyre közelebb kerül az elsőhöz. Ha a különbséghányados h → 0 mellett véges határértékhez tart, ez a határérték a derivált, f′(a). Ez a helyi változási arány, szemléletesen az érintő meredeksége.
A deriválhatóságból következik a folytonosság, de fordítva nem. Az |x| a 0-ban folytonos, de a bal oldali meredeksége −1, a jobb oldali 1. A két oldal más értéket ad, ezért a különbséghányadosnak a 0-ban nincs határértéke, és ott nincs derivált.
Mini példa
Az Önellenőrzésből: x² esetén ((x + h)² − x²)/h = 2x + h, ami h → 0 mellett 2x-hez tart, így az x² deriváltja 2x.
Gyakori hibák
- A folytonosságból ne következtess deriválhatóságra; az |x| a 0-ban ellenpélda.
- A különbséghányadosba ne helyettesíts h = 0-t, mert 0/0 lenne; a h → 0 határértéket kell venni.
Használható szabályok
$$ (u+v)'=u'+v',\quad (uv)'=u'v+uv',\quad \left(\frac uv\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}\ (v\ne0),\quad (f\circ g)'=(f'\circ g)\,g'. $$
A hatványfüggvény deriváltja $px^{p-1}$ ott, ahol a valós hatvány és a derivált értelmezett. Alapképletek: $(e^x)'=e^x$, $(a^x)'=a^x\ln a$ ($a>0$), $(\ln x)'=1/x$ ($x>0$), $(\sin x)'=\cos x$, $(\cos x)'=-\sin x$, $(\arctan x)'=1/(1+x^2)$, $(\arcsin x)'=1/\sqrt{1-x^2}$ ($|x|<1$). $\sinh$ és $\cosh$ egymás deriváltjai.
Az inverz deriválásánál $(f^{-1})'(y)=1/f'(x)$, ahol $y=f(x)$, és a helyi invertálhatóság, valamint $f'(x)\ne0$ szükséges. Implicit egyenletnél $y$-t $x$ függvényének tekintjük: $x^2+y^2=R^2$ esetén $2x+2yy'=0$, tehát $y'=-x/y$, ha $y\ne0$.
Egyszerűbben
Ezek a szabályok azért kellenek, hogy ne kelljen minden deriváltat a definícióból kiszámolni. Összegnél a deriváltak összeadódnak. Szorzatnál viszont két tag jön ki: (uv)′ = u′v + uv′. Hányadosnál (u/v)′ = (u′v − uv′)/v², csak v ≠ 0 mellett.
A láncszabály (összetett függvény deriválása) szerint (f ∘ g)′ = (f′ ∘ g)·g′: a külső függvény deriváltját a belső függvény értékénél veszed, és megszorzod a belső függvény deriváltjával.
Az alapképleteknél a feltételek is a képlet részei: az (aˣ)′ = aˣ ln a csak a > 0-ra, az (ln x)′ = 1/x csak x > 0-ra, az (arcsin x)′ = 1/√(1 − x²) csak |x| < 1-re szól. A hatványfüggvény deriváltja pxᵖ⁻¹ ott, ahol a valós hatvány és a derivált értelmezett.
Inverz függvénynél (f⁻¹)′(y) = 1/f′(x), ahol y = f(x); ehhez helyi invertálhatóság és f′(x) ≠ 0 kell. Implicit egyenletnél y-t x függvényének tekinted, és mindkét oldalt x szerint deriválod: x² + y² = R²-ből 2x + 2yy′ = 0, azaz y′ = −x/y, ha y ≠ 0.
Mini példa
Az Önellenőrzésből: ln(3x + 1) deriváltja a láncszabállyal 1/(3x + 1) · 3 = 3/(3x + 1), x > −1/3 mellett.
Gyakori hibák
- A szorzat deriváltját ne írd u′v′-nek; a szorzatszabály két tagot ad.
- A feltételeket ne hagyd el: ln x csak x > 0-ra, a hányadosszabály csak v ≠ 0-ra, az y′ = −x/y csak y ≠ 0-ra érvényes.
Saját példa
$f(x)=(x^2+1)e^{2x}$. A szorzatszabály két tagot ad, az exponenciális részhez láncszabály is kell:
$$ f'(x)=2xe^{2x}+2(x^2+1)e^{2x} =e^{2x}(2x^2+2x+2). $$
Az $x=0$ pontban $f(0)=1$, $f'(0)=2$. Az érintő egyenlete $y=1+2x$. Kis $h$ mellett $f(h)\approx1+2h$; a közelítés nem minden $h$-ra pontos azonosság.
Ha $f$ métert, $x$ másodpercet mér, a derivált egysége m/s. A függvény és a derivált értékének közvetlen összeadása ilyenkor dimenzióhibás lenne.
Egyszerűbben
Az f(x) = (x² + 1)e²ˣ két tényező szorzata, ezért a szorzatszabállyal indulsz: u = x² + 1 és v = e²ˣ. Az u′ = 2x. A v összetett függvény (külső eˣ, belső 2x), ezért láncszabály kell: v′ = e²ˣ · 2. Összerakva u′v + uv′ = 2xe²ˣ + 2(x² + 1)e²ˣ, az e²ˣ kiemelésével e²ˣ(2x² + 2x + 2).
Az x = 0 pontban f(0) = (0 + 1) · 1 = 1 és f′(0) = 1 · 2 = 2. Az érintő átmegy a (0, 1) ponton, meredeksége 2, ezért egyenlete y = 1 + 2x. Kis h mellett f(h) ≈ 1 + 2h: az érintő a pont közelében közelíti a függvényt, de ez közelítés, nem minden h-ra pontos azonosság.
A deriváltnak mértékegysége is van. Ha f métert, x másodpercet mér, a különbséghányados méter osztva másodperccel, így a derivált egysége m/s. Ezért f és f′ értékét nem adhatod össze közvetlenül: ez dimenzióhiba lenne, mintha métert adnál m/s-hoz.
Gyakori hibák
- Ne felejtsd el a belső deriváltat: az e²ˣ deriváltja 2e²ˣ, nem e²ˣ.
- Az 1 + 2h közelítést ne kezeld minden h-ra pontos azonosságként; csak kis h mellett közelít.
Tipikus hiba
Az $(u v)'$ nem $u'v'$. Összetett függvénynél a belső derivált elhagyása tipikusan állandó szorzóhibát okoz.
Egyszerűbben
A szorzat deriváltja nem a deriváltak szorzata; a helyes szabály két tagot ad: (uv)′ = u′v + uv′. A lecke saját példáján látszik a különbség. Az f(x) = (x² + 1)e²ˣ esetén u′v′ = 2x · 2e²ˣ = 4xe²ˣ lenne, ami x = 0-ban 0, a helyes f′(0) viszont 2.
A második hiba az összetett függvényeknél jelentkezik. A láncszabály szerint a külső derivált után még a belső függvény deriváltjával is szorozni kell. Ha ezt elhagyod, ez a szorzó hiányzik az eredményből: ha az e²ˣ deriváltját e²ˣ-nek írod 2e²ˣ helyett, a 2-es szorzó vész el, az ln(3x + 1)-nél pedig a 3-as. Ezekben a példákban a belső függvény lineáris, ezért a hiba egy állandó szorzó.
Hogyan veszed észre? Nézd végig, hogy minden összetett részhez kiírtad-e a belső deriváltat, és hogy a szorzatnál mindkét tag szerepel-e. A derivált pontbeli értékét a különbséghányadossal is összevetheted kis h mellett.
Gyakori hibák
- Szorzatnál írd ki mindkét tagot, u′v-t és uv′-t is.
- Összetett függvénynél jelöld meg a belső függvényt, és szorozz a deriváltjával, mielőtt egyszerűsítesz.
Önellenőrzés
- Mi a $\ln(3x+1)$ deriváltja? $3/(3x+1)$, $x>-1/3$.
- Mi az $x^2$ deriváltja definícióból? $2x$, mert a különbséghányados $2x+h$.