Kidolgozott példák

Az egyetemi szűrő tanulási ajánlás. A megvásárolt tárgy összes VÁZ-anyagához hozzáférsz az egyetemi szűréstől függetlenül.

Egységből és irányból pont: az I./II. alapfeladat összekapcsolása

Előbb az adatok jelentését válaszd ki, utána képezz síkbeli pontot, végül az új pontból nyerd vissza a megadott hosszt és irányt.

A koordináta nem egy nyíl hossza: azt mondja meg, hol vagyunk a választott origóhoz képest. Az irány és a távolság ehhez ad egy elmozdulást. A két alapfeladatot ezért jól lehet egymás ellenőrzésére használni, de az ellenőrzés nem új terepi mérés.

Saját, megadott számpélda.

1. Ismerd fel a feladatot
A=(Y=1000; X=2000) m ismert pontból P-t keresünk. A már tájékozott δ_AP=45°00′00″, a síkbeli t=100 m. A körleolvasás itt nem bemenet: az irányszöget készen megadtuk.
Ez I. alapfeladat. A végén P és A két ismert koordinátájából II. alapfeladattal ellenőrzünk.
2. Rögzítsd az egységet és a konvenciót
Minden hossz méter; 45°00′00″=45° tizedes fok. X észak, Y kelet felé nő, a pontot (Y;X) sorrendben írjuk.
A 45° az északtól óramutató szerint mért irány; ezért mindkét komponens pozitív, és P északkeletre esik.
3. Számolj köztes eredményekkel
ΔY=100·sin45°=100/√2≈70,7106781187 m.
ΔX=100·cos45°=100/√2≈70,7106781187 m.
Y_P=1000+70,7106781187≈1070,7106781187 m; X_P=2000+70,7106781187≈2070,7106781187 m.
A kalkulátor három tizedes méterrel: P≈(1070,711;2070,711) m. Ha a feladat centimétert kér, a végén P≈(1070,71;2070,71) m.
4. Ellenőrizd más úton
Az egyenlő befogók és a pozitív előjelek 45°-os északkeleti irányt adnak.
A teljes, nem előre kerekített komponensekre t²=(100/√2)²+(100/√2)²=10000 m², így t=100 m. Ez a háromszög geometriájából ellenőriz, nem pusztán megismétli az összeadást.
5. Ismerd fel a hibás megoldást
Hibás út: „tan45°=1, ezért ΔY=100 m és ΔX=100 m.”
Ez egy-egy befogót tesz egyenlővé a 100 m-es átfogóval. A hibás elmozdulás hossza √(100²+100²)≈141,421 m lenne.
A megadott t a vektor hossza; a befogók t·sinδ és t·cosδ. Mindkettő 100/√2, nem 100 m.

Ez a példa a VÁZ saját, ellenőrizhető mintaszámítására épül; a történet és a tanulói magyarázat saját készítésű. Nem egyetemi feladatsor.

Tájékozás egy ismert irányból és új pont számítása

Különítsd el a körleolvasást az irányszögtől, és egy ismert ponttal kapcsold össze a körnullát a koordinátarendszerrel.

A műszer körének nullaosztását nem kell északra állítanunk ahhoz, hogy helyesen számoljunk. A tájékozás éppen ezt a különbséget méri fel. Ugyanabban a műszerállásban a z_t szöget a későbbi célok leolvasásához is felhasználhatjuk.

Saját, megadott számpélda.

1. Ismerd fel a feladatot
S=(650000;240000) m és K=(650000;240100) m ismert. K-ra l_K=330°, az új P-re l_P=30° és t_SP=80 m.
Előbb z_t kell; csak utána lesz a P-re mért 30°-ból koordinátához használható irányszög.
2. Rögzítsd az egységet és a konvenciót
Az ismert irányhoz ΔY_K=0, ΔX_K=100 m, ezért K északon van. δ_SK=0°.
Minden vízszintes szög óramutató szerinti; az irányokat a [0°,360°) tartományba normalizáljuk. A körérték és a δ nem felcserélhető.
3. Számolj köztes eredményekkel
z_t=wrap360(0°−330°)=30°.
δ_SP=wrap360(30°+30°)=60°.
ΔY=80·sin60°=40√3≈69,2820323028 m, ΔX=80·cos60°=40 m.
P≈(650069,2820323028;240040) m. Egy irányból nincs redundáns tájékozási kontroll, bár a számolás végrehajtható.
4. Ellenőrizd más úton
A körnulla 30°-os északi irányhoz viszonyított helyzetével l_K+z_t=360°≡0°, ami visszaadja K északi helyét.
P−S komponenseiből Püthagorasz 80 m-t, az atan2 kelet/észak sorrendben 60°-ot ad. Ez számítási ellenőrzés, nem újabb megfigyelés.
5. Ismerd fel a hibás megoldást
Fordított kivonással z_t=330°−0°=330°; ekkor a cél δ=30°+330°≡0° lenne.
Ez P-t északra tenné, és K ellenőrzésén l_K+z_t=660°≡300° jönne ki a koordinátából ismert 0° helyett.
Az ismert koordinátairányból vond ki a hozzá tartozó leolvasást: z_t=δ_K−l_K, majd normalizálj.

Ez a példa a VÁZ saját, ellenőrizhető mintaszámítására épül; a történet és a tanulói magyarázat saját készítésű. Nem egyetemi feladatsor.

Körátfordulás és több tájékozó irány közepelése

A körhatár közelében is helyes középtájékozást képezz, és az adott relatív súlyt ne cseréld más súlymodellre.

Két, 0° körül összetartozó érték a számológép listájában majdnem teljes körre is kerülhet egymástól. A geometria nem ugrott meg: csak ugyanannak a körnek másik végén írtuk le az adatot. A közepelés előtt ezért választunk közös körágat.

Saját, megadott számpélda.

1. Ismerd fel a feladatot
S=(5000;1000) m. K_N=(5000;1100) m leolvasása 0°00′10″; K_E=(5100;1000) m leolvasása 89°59′54″. P-re 90°00′02″ és 60 m áll rendelkezésre.
Két egyenlő súlyú tájékozó irányból közepet számolunk; egyik nyers leolvasást sem javítjuk át utólag.
2. Rögzítsd az egységet és a konvenciót
K_N iránya 0°, K_E iránya 90°. A z_i értékeket ugyanazon, félkörnél szűkebb körágon kell kezelni.
A másodperc itt szögmásodperc: 1°=3600″. A 0°00′06″ közeli szög, nem teljes környi eltérés a 359°59′50″-hez képest.
3. Számolj köztes eredményekkel
z_N=wrap360(0°−0°00′10″)=359°59′50″.
z_E=90°−89°59′54″=0°00′06″, a közös körágon 360°00′06″.
A 360°-hoz képesti eltérések −10″ és +6″. Közép: (−10+6)/2=−2″, tehát z_t=359°59′58″.
A maradékok z_i−z_t alapján −8″ és +8″.
δ_P=90°00′02″+359°59′58″≡90°; ezért P=(5060;1000) m.
4. Ellenőrizd más úton
A középtől mért két, egyenlő súlyú maradék összege −8″+8″=0. A négyzetes eltérés összege ennél a körágon választott középnél minimális.
P−S=(60;0) m, tehát a koordinátákból közvetlenül keleti irány és 60 m adódik. A maradék számtani ellenőrzés, nem terepi megfelelt minősítés.
5. Ismerd fel a hibás megoldást
Közös körág nélkül (359°59′50″+0°00′06″)/2=179°59′58″; P iránya így 270° lenne.
A hibás átlag nyugatra vinné P-t: Y=4940 m, X=1000 m. A körfelírás végpontját fizikai eltérésnek tekintette.
A 0°00′06″-ot a másik adat mellé 360°00′06″-ként írd fel, és csak utána közepelj; a kész közepet normalizáld.

Ez a példa a VÁZ saját, ellenőrizhető mintaszámítására épül; a történet és a tanulói magyarázat saját készítésű. Nem egyetemi feladatsor.

Ferde távolságból célmagasság

A mért ferde szakaszt bontsd fel, majd a műszer- és jelmagasságot a megfelelő előjellel kapcsold a pontmagassághoz.

A sugár nem a talajponttól indul és nem feltétlenül a talajpontot éri el. Előbb a műszertengely és a jelközép helyzetét értelmezzük, aztán térünk át a két talajpont magasságkülönbségére. Az alapváltozatokban a görbület és refrakció kapcsolója ki van kapcsolva.

Saját, megadott számpélda.

1. Ismerd fel a feladatot
H_A=123,4 m, i=1,55 m, t_j=1,25 m, s=50 m és Z=60°. A jel talppontjának H_P magasságát keressük.
A táv ferde: a függőleges komponens s·cosZ. A korrekció ki van kapcsolva, tehát most nincs c tag.
2. Rögzítsd az egységet és a konvenciót
Minden hossz méterben; Z a felfelé mutató függőlegestől mért szög. Z=60° azonos α=30° emelkedő magassági szöggel.
H pozitív felfelé; i felemeli a műszertengelyt az A pont fölé, t_j pedig a jelközépről a talpponthoz visszalépés.
3. Számolj köztes eredményekkel
d=50·sin60°=25√3≈43,3012701892 m.
v=50·cos60°=25 m.
ΔH_ideal=1,55+25−1,25=25,30 m.
H_P=123,4+25,30=148,70 m; három tizedesre 148,700 m. A v=25 m nem azonos a ΔH=25,3 m értékkel.
4. Ellenőrizd más úton
A 30°-os emelkedő háromszögben az átfogó fele a függőleges befogó: 25 m. A másik befogó Püthagoraszból √(50²−25²)=25√3 m.
A műszertengely 124,95 m, a jelközép 149,95 m magas. Innen 1,25 m-rel lefelé a talppont 148,70 m. Ez a pontgeometria ellenőrzi az előjeleket.
5. Ismerd fel a hibás megoldást
A t_j elhagyásával H_P=123,4+1,55+25=149,95 m.
Ez a jelközép, nem a keresett talppont magassága; a hiba itt 1,25 m.
A műszertengelytől számított sugárvég után vond le a jel függőleges magasságát.

Ez a példa a VÁZ saját, ellenőrizhető mintaszámítására épül; a történet és a tanulói magyarázat saját készítésű. Nem egyetemi feladatsor.

Mit adna ehhez a bekapcsolt korrekció?

c=(1−k)d²/(2R); R=6371000 m, alap k=0,13; ΔH_corrected=ΔH_ideal+c.

Az A változatban d²=1875 m², így c≈0,000128021504 m, vagyis 0,128 mm. Ez kisebb a centiméteres kijelzés felbontásánál, de a kerekítés nem bizonyít terepi elhanyagolhatóságot. A B változatnál a ténylegesen számolt d kerül a képletbe, nem az átfogó s.

Egy nagyobb távolságú saját példában s=500 m, Z=60°; d²=187500 m². A tag k=0,13 mellett c≈0,012802150369 m =12,802 mm. Az ideális H=350,3 m helyett a modell H≈350,312802150369 m-t ad.

Csak még nem javított geometriai adatok, egyoldalú elsőrendű gömbi modell, állandónak feltételezett k. Nem teljes műszeres redukció; a jelentőség az adott feladat pontossági igényétől és modelljétől függ.

Vízszintes távolságból magasság: a cotangens értelme

Ha a megadott táv d, ne használd úgy, mintha az átfogó s lenne; őrizd meg a lefelé mutató sugár előjelét.

Ugyanazt a derékszögű háromszöget vizsgáljuk, de most nem az átfogó ismert. A d·cosZ kifejezés ezért nem a keresett függőleges befogó. Az alapváltozatokban a görbület és refrakció kapcsolója ki van kapcsolva.

Saját, megadott számpélda.

1. Ismerd fel a feladatot
H_A=212,35 m, i=1,6 m, t_j=1,4 m, d=40 m, α=−30°. A vízszintes, nem a ferde távolság ismert.
A keresett alap-pontmagasság H_P; a függőleges sugárkomponens és a pontok magasságkülönbsége külön számolandó.
2. Rögzítsd az egységet és a konvenciót
Z=120°. A lefelé mutató v negatív. Hossz méter, szög DEG; a korrekció ki van kapcsolva.
d>0 és a sugár nem függőleges. Az i hozzáadandó, t_j levonandó.
3. Számolj köztes eredményekkel
v=d·cotZ=40·cot120°=−40/√3≈−23,094010767585033 m.
s=d/sin120°=80/√3≈46,188021535170066 m.
ΔH=1,6+v−1,4≈−22,894010767585034 m.
H_P≈189,45598923241497 m; három tizedesre 189,456 m, centiméterre 189,46 m.
4. Ellenőrizd más úton
Magassági szöggel v=40·tan(−30°)=−40/√3, ugyanaz az eredmény a másik szögértelmezésből.
A ferde hossz külön Püthagoraszból: s²=40²+(40/√3)²=6400/3 m². A magasság visszaellenőrzése H_P−H_A−i+t_j=v.
5. Ismerd fel a hibás megoldást
Hibásan v=d·cos120°=40·(−1/2)=−20 m, amiből H_P=212,35+1,6−20−1,4=192,55 m.
A cosZ-vel az átfogót szorozhatnánk, de itt a vízszintes befogó ismert. A hiba nem az előjel, hanem a rossz távolságfajta.
Vízszintes d-ből v=d·cosZ/sinZ, vagy a magassági szöggel d·tanα.

Ez a példa a VÁZ saját, ellenőrizhető mintaszámítására épül; a történet és a tanulói magyarázat saját készítésű. Nem egyetemi feladatsor.

A vízszintes távval számolt korrekció

c=(1−k)d²/(2R), nem (1−k)s²/(2R).

k=0,13 és R=6371000 m mellett az A változat d=40 m távolságán c≈0,000109245016 m=0,109 mm; a B változat d=30 m távolságán c≈0,000061450322 m=0,061 mm. Ezeket külön előjeles sorban adjuk a magassági egyenleghez, nem a geometriai v-be rejtjük.

Egy másik saját példában d=1000 m és vízszintes sugár mellett az ideális ΔH=0, a korrekció c≈0,068278135301 m. A javított modell H≈100,068278135301 m-t ad a 100 m-es ideális magasság helyett.

Az előjavított műszeradatot nem korrigáljuk újra. k=1 esetén c=0; k>1 esetén negatív is lehet, tehát a „hozzáadás” nem jelent minden k-nál emelést. Nincs távolsághoz rendelt univerzális mérési elfogadás.

Lécleolvasásból előjeles magasságkülönbség

Az optikai cm-osztást és a becsült mm-t válaszd el a h−e számolástól; ugyanazt a vízszintes iránysíkot használd a két pontnál.

A lécen felfelé növekvő leolvasás nem azt jelenti, hogy a talppont magasabban van. Változatlan vízszintes iránysík alatt a nagyobb leolvasás alacsonyabb talppontot jelöl. A képi leolvasás és a magassági egyenleg két egymásra épülő, de külön ellenőrizhető lépés.

Saját, megadott számpélda.

Hátra leolvasás (h)

Előre leolvasás (e)

1. Ismerd fel a feladatot
H_A=100,000 m. A saját hátra-lécképen a középszál 1 m+2 dm+3 cm+7 becsült mm helyen, az előre-lécképen 2 m+8 dm+6 cm+4 becsült mm helyen metszi az osztást.
Előbb a leolvasásokat képezzük méterben: h=1,237 m, e=2,864 m. P az előre-pont; nem égtáji hátra/előre sorrendről van szó.
2. Rögzítsd az egységet és a konvenciót
Álló, függőleges, pozitív cm-osztású optikai léc, középszál. Mindkét adat ugyanabból a változatlan vízszintes iránysíkból származik.
A magasság felfelé pozitív, ΔH_AP=H_P−H_A. A képi becslés és a számolás egysége méter.
3. Számolj köztes eredményekkel
h=1+0,2+0,03+0,007=1,237 m.
e=2+0,8+0,06+0,004=2,864 m.
ΔH=h−e=1,237−2,864=−1,627 m.
H_P=100,000−1,627=98,373 m. Mivel e>h, P a közös iránysíktól nagyobb függőleges távolságra, tehát A-nál alacsonyabban van.
4. Ellenőrizd más úton
Az iránysík H_I=H_A+h=101,237 m. Ebből az előreolvasást levonva H_P=101,237−2,864=98,373 m.
Egész milliméterekkel 1237−2864=−1627 mm. Ez egyszerre ellenőrzi a tizedesváltást és az előjelet.
5. Ismerd fel a hibás megoldást
Felcserélt kivonással e−h=+1,627 m-et és H_P=101,627 m-t kapnánk.
A nagyobb előreleolvasásból tévesen magasabb pontot állított. A két helyes pozitív leolvasás szerepét cserélte fel.
Rajzold fel a közös iránysíkot. H_P=H_I−e, ezért a helyes különbség h−e.

Ez a példa a VÁZ saját, ellenőrizhető mintaszámítására épül; a történet és a tanulói magyarázat saját készítésű. Nem egyetemi feladatsor.

A képi válasz ebben a lécgyakorlóban méterben, három tizedessel, zárt ±0,001 m gyakorlói sávban értékelhető; ez nem terepi tűrés. A levezetés névleges h/e adataival számol; a ±1 mm-es képi elfogadási sáv nem módosítja a külön szintezési számítási feladat egzakt racionális megoldókulcsát. A kézi példaút önmagában nem vezet be összetett automatikus pontozást.