Egyensúlyi egyenletek: hogyan válassz sorrendet?
Előismeret: SM-06
Három egyenlet, jó pontválasztással
Egy síkbeli merev test egyensúlyi egyenletei: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM_O,CW = 0. Az első kettő az eltoló, a harmadik a forgató hatást egyenlíti ki. O tetszőleges pont lehet, de olyan pontot érdemes választani, amelyen több ismeretlen hatásvonala átmegy. Ezek nyomatéka ott nulla.
Egyszerűbben
Egy síkbeli merev test egyensúlyát három egyenlet írja le: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 és ΣM_O,CW = 0. Az első kettő az eltoló hatást egyenlíti ki vízszintesen és függőlegesen, a harmadik a forgató hatást.
Az O pontot szabadon választhatod, és ezt érdemes kihasználni. Ha olyan pontot választasz, amelyen több ismeretlen erő hatásvonala átmegy, ezeknek az erőknek ott nulla az erőkarja, így a nyomatékuk is nulla. Az egyenletből kiesnek, és kevesebb ismeretlen marad benne. Jó esetben egyetlen ismeretlen marad, amelyet azonnal ki tudsz fejezni.
A nyomatéki egyenletben a hallgatói konvenció szerint az óramutató járásával egyező forgás pozitív (↻+). Egy erő tagjának nagysága erő × erőkar, ahol az erőkar az O pont és a hatásvonal merőleges távolsága; az előjelet az adja, hogy az erő merre forgatna O körül.
- Rajzold fel a szabadtestábrát az ismeretlen reakciókkal.
- Keress olyan pontot, amelyen a legtöbb ismeretlen hatásvonala átmegy.
- Írd fel erre a pontra a ΣM_O,CW = 0 egyenletet.
- Ezután használd a ΣF_x = 0 és ΣF_y = 0 egyenletet a többi ismeretlenhez.
Gyakori hibák
- Olyan nyomatékpontot választani, amelyen egy ismeretlen sem megy át: ekkor minden ismeretlen benne marad a nyomatéki egyenletben.
- A tag előjelét a távolság előjeléből kitalálni: nézd meg, az óramutató irányába forgat-e az erő O körül.
Kéttámaszú példa, végigvezetve
A gerenda hossza 6 m. A bal csukló A, a jobb függőleges görgő B. A-tól 2 m-re 12 kN lefelé hat. A reakciókat felfelé pozitívnak vesszük.
- A pontra vett, CW-pozitív nyomatéki egyenlet:
ΣM_A,CW: 2·12 − 6·B_y = 0. InnenB_y = 4 kN. A reakcióerőt azért nem kell A-ban ismerni, mert erőkarja itt nulla. - Vízszintes egyensúly:
A_x = 0. - Függőleges egyensúly:
A_y + B_y − 12 = 0. InnenA_y = 8 kN. - Másik pontra ellenőrzés:
ΣM_B,CW: 6·8 − 4·12 = 0. A két tag egyenlő, az eredmény helyes.
A kar × erő alak segít látni, melyik tag honnan jött. Ferde erőnél előbb globális komponensekre bonts, vagy használj előjeles merőleges erőkart. Nem minden erőkar pozitív.
Egyszerűbben
A példa egy kéttámaszú gerenda reakcióit számolja ki, jól választott sorrendben. A gerenda 6 m hosszú, bal végén A csukló, jobb végén B függőleges görgő. A-tól 2 m-re 12 kN hat lefelé. A reakciókat felfelé pozitívnak vesszük.
Először A-ra írunk nyomatéki egyenletet, mert A_x és A_y hatásvonala átmegy A-n, így erőkarjuk nulla, és kiesnek. A 12 kN A-tól jobbra lefelé hat, tehát az óramutató irányába forgat: +2·12. A felfelé ható B_y 6 m-re jobbra van, ez ellentétesen forgat: −6·B_y. Így 2·12 − 6·B_y = 0, ebből B_y = 24/6 = 4 kN.
Ezután jönnek az erőegyenletek. Vízszintes teher nincs, ezért A_x = 0. Függőlegesen A_y + B_y − 12 = 0, tehát A_y = 12 − 4 = 8 kN.
Végül egy másik pontra, B-re ellenőrzöl: ΣM_B,CW: 6·8 − 4·12 = 48 − 48 = 0. Itt A_y 6 m-es, a 12 kN 4 m-es karral szerepel. Mivel nulla jött ki, az eredmény helyes; ha nem nulla lenne, valahol hiba van.
Gyakori hibák
- Ferde erőt a teljes nagyságával és nem merőleges távolsággal szorozni: előbb bontsd globális komponensekre, vagy használj előjeles merőleges erőkart.
- Minden nyomatéki tagot pozitívnak írni: itt B_y negatív előjellel szerepel, mert ellentétesen forgat.
Befogásnál
Az erőegyenletekből megkapod A_x és A_y értékét, az A-ra vett nyomatéki egyenletből a befogási nyomatékot. Ha a külső teher pozitív CW nyomatékot ad, a reakciónyomaték negatív CW, vagyis fizikailag az óramutatóval ellentétesen hat.
Három külön pontra írt nyomatéki egyenlet nem automatikusan három független egyenlet. A teljes rendszernek kell az ismeretleneket egyértelműen meghatároznia.
Önellenőrzés: ha a 12 kN erő A-ba kerül, mekkora B_y? Nulla; a terhet A veszi fel ebben az idealizált modellben.
Forrás: Ladányi Gábor: Mechanika I. – Bevezetés a műszaki mechanikába. Online tananyag – Műszaki tudományok, 33. A használt PDF kiadási éve nincs feltüntetve. 360–415. o. (PDF-oldal); Tóth Bence: Mechanika I. – Statika. Budapest: Dialóg Campus Kiadó, 2019. 72–84. o. (PDF-oldal).
Egyszerűbben
Befogott tartónál a támasz erőt és nyomatékot is átad. Az erőegyenletekből A_x és A_y, az A-ra vett nyomatéki egyenletből a befogási nyomaték jön ki. A-ra azért érdemes nyomatékot írni, mert A_x és A_y hatásvonala ott átmegy, így kiesnek.
Az előjelet így értelmezd: a reakciónyomatékot is CW-pozitívnak veszed fel. Ha a külső teher pozitív CW nyomatékot ad, a reakciónyomaték negatív CW lesz. Ez nem hiba: azt jelenti, hogy fizikailag az óramutatóval ellentétesen hat, és így egyensúlyozza a teher forgatását.
Fontos korlát: ha három különböző pontra írsz nyomatéki egyenletet, attól még nem biztos, hogy három független egyenleted van. Az számít, hogy a teljes egyenletrendszer egyértelműen meghatározza-e az ismeretleneket.
Az önellenőrzés az előző kéttámaszú gerendára utal. Ha a 12 kN erő A-ba kerül, A-ra vett nyomatéka nulla, így 0 − 6·B_y = 0, tehát B_y = 0. A terhet ebben az idealizált modellben A veszi fel.
Gyakori hibák
- A negatív CW reakciónyomatékot elírásnak tekinteni és pozitívra javítani: az előjel a tényleges forgásirányt jelzi.
- Három nyomatéki egyenletet automatikusan három független egyenletnek venni.